선형대수 과목 행렬부분 02~

002 행렬과 가우스 소거법

 

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1. 소거법: 방정식에 관한 3가지 기본연산

1. 두 방정식을 교환한다
2. 한 방정식에 0 이 아닌 상수를 곱한다
3. 한 방정식에 임의의 상수를 곱해 다른 방정식에 더한다

2. 일차 연립방정식의 행렬표현: ax = b <=> AX = B

 

 

01 행렬과 1차 연립방정식

 

n 원 1차 연립방정식의 행렬표현

행렬방정식: AX = B

A: 계수행렬, X: 미지수 행렬, B: 상수 행렬,

(A|B): 확대 행렬 (1차연립방정식에 대한 확대 행렬)

 

 

02 기본 행연산

 

정의 02-1. 행렬에 관한 3가지 기본연산

1. 두 행을 교환한다 => Ri,j
2. 한 행에 0 이 아닌 상수를 곱한다 => Ri(c) (단, c≠0)
3. 한 행에 임의의 상수를 곱해 다른 행에 더한다 => Ri,j(c)

 

정의 02-2. 행렬 A 에 기본행연산을 적용해 행렬 B 를 얻을 수 있는 경우, A 와 B는 행상등 (row-equivalent) 하다

 

정리 02-1. 1차 연립방정식 L1, L2 에 대해 각각의 확대행렬을 A, B 라 했을 때 A, B 가 행상등하면 L1, L2 는 상등하다 (해집합이 같다)

 

행렬을 이용한 1차 연립방정식의 해법은

1차 연립방정식에 소거법: 3가지 기본연산을 적용하거나

확대행렬에 기본행연산을 적용해 계산 가능하다

 

 

정의 02-3. 행제형 행렬은

1. 영행이 있다면 그건 영행이 아닌 행의 아래에 있다
2. 영행이 아닌 행의 첫번째 0이 아닌 원소를 선도원소라 하고, 모든 선도원소는 1이다
3. 영행이 아닌 연속된 두행에서 i 번째 선도원소는 i+1 번째 선도원소보다 왼쪽에 있다

 

정의 02-4. 소거행제형 행렬은 i 번째 행의 선도원소가 j 번째 열에 있다면, j 번째 열의 다른 모든 원소는 0이다

 

가우스 소거법: 행제형 행렬을 구하고, 후진대입법을 사용

가우스-조르단 소거법: 소거행제형 행렬을 구하고, 바로 해를 구함

 

 

003 행렬 연산

 

01 행렬의 기본 개념

 

정의 03-1. m x n 행렬 A 에 대해

1. i 번째 행의 j 번째 원소 (i,j) 원소: aij
2. 행렬 A 의 표현: A = (aij)
3. m=n 일 때 A 는 n 차 정방행렬
4. A 가 정방행렬일 때 aii (1≤i≤n) 는 A의 주대각원소

 

정의 03-2. n 차 정방행렬 A = aij 에 대해

1. aij=0 (단, i≠j) 이면 대각행렬 (diagonal matrix)
2. aii=c (1≤i≤n) 이면 스칼라행렬 (scalar matrix)
3. aii=1 (1≤i≤n) 이면 단위행렬 (identity matrix)
4. aij=0 (단, i<j) 이면 하삼각행렬 (lower triangular matrix)
5. aij=0 (단, i>j) 이면 상삼각행렬 (upper triangular matrix)

 

정의 03-3. 행렬의 상등: A=(aij) 와 B=(bij) 를 mxn 행렬이라고 할 때, 모든 i,j (1≤i≤m), (1≤j≤n) 에 대해 aij=bij 인 경우 A와 B는 서로 같다 또는 상등하다

 

 

02 행렬의 합

 

정의 03-4. 행렬의 합은 mxn 행렬 C=(cij) 로 cij = aij + bij 로 정의되고, A + B = C 로 표시한다

 

정리 03-1. Mmn 을 mxn 행렬 전체의 집합이고, A,B,C ∈ Mmn 일 때 다음이 성립한다

1. A+B = B+A
2. A + (B+C) = (A+B) + C
3. A+O = A 를 만족하는 유일한 행렬 O 가 Mmn 에 존재함: O 는 mxn 크기의 영행렬 (zero matrix)
4. A+D = O 을 만족하는 행렬 D 가 A 에 대해 유일하게 Mmn 에 존재함: 행렬 D는 -A 이며 A 의 음행렬 (negative matrix)

 

03 행렬의 스칼라곱

 

정의 03-5. 행렬의 스칼라배 

 

 

004 역행렬

 

01 정칙행렬과 역행렬

 

- 일차방정식 ax = b 에서 a≠0이면 a 의 곱셈에 관한 역원 a^(-1) 이 존재해 a^(-1) 을 방정식 양변에 곱해 x = a^(-1)*b 를 구할 수 있다

• ab = ba = 1 -> b = a^(-1)

 

- 행렬방정식 AX=B 에서 A가 행렬곱에 관한 역원 (역행렬 A^(-1))을 갖는다면 A^(-1) 을 방정식의 양변에 곱해 X=A^(-1)*B 를 구할 수 있다

• AB = BA = I -> B = A^(-1)

 

 

정의 04-1. n차 정방행렬 A 에 대해 행렬 B 가 존재하여 AB = BA = In 을 만족할 때 A 를 정칙행렬 (nonsingular matrix) 또는 역연산이 가능한 행렬 (invertible matrix) 라 부르며, B 를 A 의 역행렬 (inverse matrix) 라 부르고 B = A^(-1) 이라 표시한다

 

정리 04-1. A 가 정칙행렬이면 A^(-1) 은 유일하다

 

정리 04-2. A 와 B 가 n 차 정칙행렬이라 하면 다음이 성립한다

1. A^(-1) 도 정칙행렬이며 (A^(-1))^(-1) = A 이다
2. AB 도 정칙행렬이며 (AB)^(-1) = B^(-1)*A^(-1) 이다
3. cA 도 정칙행렬이며 (cA)^(-1) = C^(-1)*A^(-1) 이다 ( 단, c≠0 )
4. A^T 도 정칙행렬이며 (A^T)^(-1) = (A^(-1))^T 이다
5. -> 따름정리

 

02 역행렬 구하는 방법

 

정의 04-2. 기본행렬: n 차 단위행렬 In 에 기본행연산을 한번만 적용해 얻는 행렬 E 를 기본행렬 (elementary matrix) 라 한다

기본행연산 Ri,j, Ri(c), Ri,j(c) 에 대응하는 기본행렬을 각각 Ei,j, Ei(c), Ei,j(c) 로 표시한다

 

기본행렬의 기능은 기본행연산을 행렬로 바꾼 것이다 A --- Ri,j ---> B 는 B = Ei,j*A 이다

 

정리 04-3. 기본행연산과 기본행렬의 관계. A 와 B 를 nxp 행렬이라 하면 다음이 성립한다

• A 에 기본행연산 R 을 적용한 결과는 EA 와 같다. 단, 행렬 E 는 n 차 단위행렬에 동일한 기본행연산 R 을 적용해 얻은 기본행렬이다
• A 와 B 가 행상등하다면 유한개의 기본행렬 E1, E2, ... Ek 가 존재해 다음을 만족한다: A = E1*E2*...*Ek*B

 

정리 04-4. 기본행렬은 정칙행렬이며, 그 역행렬은 동일한 종류의 기본행렬이다

• (Ei,j)^(-1) = Ei,j 
• (Ei(c))^(-1) = Ei(c^(-1))
• (Ei,j(c))^(-1) = Ei,j(-c)

 

- A 가 n 차 정칙행렬이라면 A 에는 영행이나 영렬이 없다

 

정리 04-5. 정칙행렬의 특성: A 가 n 차 정방행렬일 때 다음은 서로 동치이다

1. A 는 정칙행렬이다
2. A 와 In 은 행상등하다 ( 유한번의 기본 행연산을 했다 = 행상등하다 )
3. A 는 유한개의 n 차 기본행렬들의 곱이다

🌟🌟🌟

정리 04-6. n 차 정방행렬 A, B, C 에 대해 ( A | In ) 과 소거행제형 행렬 ( B | C ) 가 행상등하면 다음이 성립한다

1. B 가 영행을 포함하면 A 는 정칙행렬이 아니다
2. 만일 B = In 이면 A 는 정칙행렬이고 C = A^(-1) 이 된다

 

03 일차연립방정식과 역행렬

 

정의 04-3. 위수: 행렬 M 에 기본행연산을 적용해 행제형 행렬 R 로 만들었을 때 R 의 영행이 아닌 행의 수를 행렬 M 의 위수 (rank) 라고 부른다

 

정리 04-7. 1차 연립방정식의 해: 방정식이 m 개이고, 미지수가 n 개인 1차연립방정식 AX=B 에 대해 다음이 성립한다

1. A 의 위수와 (A|B) 의 위수가 같기 위한 필요충분조건은 연립방정식이 해를 갖는 것이다
2. A 와 (A|B) 의 위수가 n 과 같기 위한 필요충분조건은 연립방정식이 유일한 해를 갖는 것이다

 

정리 04-8. 행렬방정식의 AX=B 의 해: A 가 n차 정칙행렬이면 임의의 nx1 행렬 B 에 대해 행렬방정식 AX=B 는 유일한 해 X=A^(-1)*B 를 갖는다

• a≠0 이면 1차방정식 ax=b 는 유일한 해 x = a^(-1)*b 를 갖는다
• A 는 정칙행렬이다 <=> 행렬식 |A| ≠ 0

 

정리 04-9. 동차연립방정식: n 차 정방행렬 A 가 In 과 행상등하기 위한 필요충분조건은 동차연립방정식 AX=O 이 오직 자명한 해(X=O)만을 갖는 것이다 

 

정리 04-10. 정칙행렬의 특성 정리: n 차 정방행렬 A 에 대한 다음 성질들은 서로 동치이다

1. A 는 정칙행렬이다
2. A 는 In 과 행상등하다
3. A 는 유한개의 n 차 기본행렬의 곱이다
4. AX=O 는 오직 자명한 해만을 갖는다
5. nx1 행렬 B 각각에 대해 AX=B 는 유일한 해를 갖는다
6. A 는 정칙행렬이다 <=> 행렬식 |A| ≠ 0

 

005 행렬식

 

 

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